Cueillez une marguerite, elle vous soufflera du bonheur. Si, essayez-donc de l'effeuiller, pour voir : « Il m'aime, un peu, beaucoup, passionnément, à la folie… » Ouf ! Statistiquement, il y a très peu de chances que cela aille plus loin. À moins de repartir pour un tour s'il reste des pétales, mais vous éviterez très vraisemblablement à nouveau le « pas du tout ». Non, ne remerciez pas votre charme légendaire, il n'y est pour rien. Un Italien, un certain Leonardo Fibonacci, a, quant à lui, une théorie qui pourrait vous éclairer.
Histoire de couples
À l'origine, le mathématicien (né vers 1170 et mort vers 1240) souhaitait trouver comment répondre à la question suivante : « Si un fermier a un couple de lapins, combien de couples obtiendra-t-il en un an si chaque couple fait naître tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ? »
Pour résoudre ce problème, il remarque que le premier couple donnera d'abord naissance à un deuxième couple, ce qui conduit à avoir deux couples. Puis le premier couple engendrera un nouveau couple, ce qui portera à trois le nombre total de paires. Ce sont désormais les deux premiers couples qui sont en âge de procréer, et il y a alors deux nouveaux couples qui s'ajoutent aux trois précédents : nous en sommes à cinq paires.
Fibonacci remarque que dans cette suite chaque terme est la somme des deux qui le précède : les deux premiers sont 0 et 1, puis encore (0 + 1 =) 1, (1 + 1=) 2, (1 + 2 =) 3, (2 + 3 =) 5, (3 + 5 =) 8, (5 + 13 =) 13, (8 + 13 =) 21, 34, 55… Le plus fou est sans doute d'observer la récurrence de ces termes de la « suite de Fibonacci » dans la nature.
Ainsi, on la retrouve dans le nombre de pétales de la très grande majorité des fleurs : la marguerite en compte 34, 55 ou 89, ce qui rend peu probable la possibilité de tomber, en l'effeuillant, sur un « pas du tout » (il faudrait pour cela que le nombre de pétales soit un multiple de 6, soit 6, 12, 18…). À moins de commencer par « il m'aime un peu » d'emblée et de tout décaler, mais là, vous l'aurez cherché.
Cinq pétales, cinq feuilles…
Continuons de regarder la nature : sur un ananas ou une pomme de pin, les « écailles » sont disposées en spirales allant du haut vers le bas, et cela n'est pas le fruit du hasard. Certaines tournent dans un sens (8 spirales, pour être précis, sur un ananas), d'autres dans le sens inverse (13 spirales). Sur une pomme de pin, on retrouve 13 et 21 spirales dans chacun des deux sens, voire 21 et 34 spirales pour les plus grosses. De même, les graines de la fleur de tournesol s'organisent en spirales qui tournent, là encore, vers la droite (34 ou 55) ou vers la gauche (55 ou 89). Eh oui, revoilà la fameuse suite.
Mais le terme de la suite de Fibonacci que l'on retrouve le plus dans la nature, c'est bien le 5. Ainsi, de très nombreuses fleurs comptent le plus souvent 5 pétales : anémones, aubépines, boutons d'or, géraniums, primevères… Les scientifiques avancent l'hypothèse suivante : pour obtenir le plus de lumière et d'espace possible, le deuxième pétale s'éloigne le plus possible du premier, le troisième s'éloigne du deuxième… et il en va de même pour chaque nouveau bourgeon, pétale ou feuille, qui voudra pousser dans les meilleures conditions, formant ainsi une spirale autour de la tige.
Prenons les feuilles justement, qui poussent sur la tige de nombreuses plantes en spirale, donc. La valeur de l'angle qui sépare deux feuilles consécutives sur une tige de plante est en général de 137,5 degrés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Cet angle « idéal », qui maximise l'ensoleillement entre deux feuilles, a un lien avec un nombre qui, lui aussi, est omniprésent dans la nature : le nombre d'or, φ (phi) (voir ci-dessous). Ainsi, 360 degrés/φ = 225,5 degrés dans le sens des aiguilles d'une montre ; soit 137,5 degrés dans le sens contraire. En suivant cette remarque, après le troisième tour autour de la tige, le sixième bourgeon est dans l'ombre du premier (ils ne sont en décalage que de 32,5 degrés) et ne pourrait donc pas pousser correctement. Voilà qui pourrait expliquer que de nombreuses espèces n'auraient ainsi que cinq feuilles. Eh oui, « cinq ».
La suite de Fibonacci, encore elle
L'invasion du « cinq » ne s'arrête pas là. En coupant une pomme en deux sur son « équateur », on constate que les cinq pépins sont disposés en forme d'étoile à cinq branches. Plus fou encore, la distance entre les pointes des première et troisième branches de l'étoile est la distance entre deux branches consécutives multipliée par φ, le « nombre d'or ». Une constante qui n'est d'ailleurs pas sans lien avec la suite de Fibonacci. En effet, Phi, dont la valeur exacte est (√5 + 1)/2, soit 1,618, n'est autre que le rapport entre deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci : 3/2 = 1,5 ; 5/3 = 1,6… Et plus on monte dans les nombres de la suite, et plus on se rapproche d'une approximation précise de φ.
Cette omniprésence dans la nature de liens entre ces nombres remarquables serait-elle une coïncidence ? Peut-être. Il n'en reste pas moins que regarder le monde sous le prisme des chiffres nous aide à les apprivoiser. C'est ludique, et même passionnant. On parie que vous en redemanderez ?
Les nombres premiers sont les entiers naturels qui admettent seulement deux diviseurs, 1 et lui-même : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31… Cela peut paraître inutile, et pourtant… Cette suite de nombres est la probable explication de la survie des Magicicada septendecim. Cette espèce de cigale périodique, que l'on trouve essentiellement dans l'est des États-Unis, a un cycle de vie de dix-sept ans. Elle reste sous la terre toute sa vie, puis remonte à la surface pour se reproduire… et mourir, tous les dix-sept ans donc. Or les scientifiques ont remarqué que l'un des prédateurs principaux de cette cigale est un parasite dont la durée de vie est de deux ans. En adoptant une réapparition tous les dix-sept ans, cet insecte ne rencontre donc son ennemi juré que tous les 34 ans, ce qui lui a probablement sauvé la vie !
Les nombres parfaits sont égaux à la somme de leurs diviseurs. Il n'en existe que trois jusqu'à 1 000 : 6, 28 et 496. Ainsi, les diviseurs de 6 sont 1, 2 et 3, et 1 + 2 + 3 = 6.
Les nombres rationnels sont des quantités exprimables comme le rapport de deux entiers relatifs (2/3) ; alors que les nombres irrationnels ne peuvent pas l'être (√2).
Les nombres imaginaires sont le produit d'un nombre réel par une quantité « imaginaire » notée i, dont le carré vaut (- 1). La somme d'un nombre réel et d'un nombre imaginaire est dite « complexe ». Les nombres complexes sont utilisés pour représenter des quantités qui varient périodiquement, comme le courant alternatif.
Le saviez-vous ? Lorsque l'on divise la longueur d'un fleuve (avec tous ses méandres) et la distance qui sépare sa source de son embouchure, on trouve… pi.
Pi (𝛑) est un nombre irrationnel. Son écriture décimale n'est ni finie, ni périodique, et sa valeur approchée est 3,14159265359. Un moyen mnémotechnique pour s'en souvenir est de retenir cette petite phrase : « Que j'aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages »,le nombre de lettres de chaque mot indiquant une décimale de π… Et pour 1/π: « Que j'aimerais une réciproque… » (0,318310).
On utilise (𝛑) pour le calcul du périmètre d'un cercle (P = 2 x (𝛑) x r, avec r = rayon), son aire (A = (𝛑) x r2), ou son volume (V = 4/3 x (𝛑) x r3). Son nom, pi, vient de la première lettre du mot grec qui signifie « périmètre ». Appelé parfois « constante d'Archimède », car c'est le scientifique grec qui, le premier, vers –250, en détermina une valeur approchée… mais, en réalité, les grandes civilisations plus anciennes avaient déjà compris que la circonférence d'un cercle mesurait environ trois fois plus que son diamètre. Car, quelque soit l'objet circulaire que l'on considère, qu'il s'agisse d'un atome, d'une pastèque ou d'une planète, π se définit comme le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre.
Le nombre d'or, aussi appelé « proportion dorée » ou « divine proportion », et symbolisé par un φ, est égal à (1+√5)/2, soit approximativement 1,618. On le désigne par la lettre grecque phi en hommage au sculpteur grec Phidias (vers - 490-vers - 430), qui utilisa ce nombre pour décorer le Parthénon à Athènes. Mais on retrouve des traces de φ bien avant, par exemple dans les rapports des dimensions de la pyramide de Kheops. Dès l'Antiquité, en effet, les savants et les artistes considèrent que ce nombre incarne l'harmonie et l'équilibre de l'organisation spatiale. qu'il s'agisse de son omniprésence dans la nature et dans les proportions du corps humain, ou de son utilisation dans les arts comme la peinture, l'architecture ou la musique.
Gogolplex est un nombre défini comme le nombre 10 élevé à la puissance gogol, soit le chiffre 1 suivi d'un gogol de zéros. Un gogol s'écrit avec le chiffre 1 suivi de 100 zéros (soit 10100). Hors d'atteinte des représentations mentales humaines, il est impossible, dans le système décimal, d'écrire la valeur de gogolplex sur du papier, car il contient plus de chiffres qu'il n'y a d'atomes dans l'Univers (de l'ordre de 1080). Il est plus aisé de recourir aux puissances pour l'écrire : 1010100 soit
10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.
L'inverse du gogolplex, nombre positif extrêmement petit, est le gogolminex. Et aussi énorme qu'il puisse paraître, ce n'est pas le plus grand du monde.
Les puissances permettent de simplifier l'écriture des très grands ou tout petits nombres. Ainsi, un milliard : 1 000 000 000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 109. Élever un nombre à la puissance n signifie que ce nombre est multiplié n fois par lui-même. Ainsi, 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32. À noter : un nombre élevé à la puissance 0 vaut 1.
Rien n'est trop ludique pour apprendre à aimer les chiffres. Alors pourquoi ne pas faire un tour du monde des manières de dénombrer pour mieux les apprivoiser tout en jouant ? En Europe, on commence généralement les poings fermés, et on déplie progressivement tous les doigts en partant du pouce gauche, en utilisant ses deux mains pour compter jusqu'à dix. Les Chinois, tout comme de nombreux Nord-Américains, démarrent également le poing fermé, mais attaquent par l'index, pour terminer par le pouce. Mais à partir de six, les Chinois ont leurs propres signes, qui leur permettent de compter jusqu'à neuf sur une seule main en combinant les mouvements de plusieurs doigts. Les Japonais utilisent également cette méthode pour montrer un chiffre à une autre personne, mais en ont une autre lorsqu'ils comptent pour eux-mêmes. Dans ce cas, ils débutent main ouverte pour compter 0, puis replient progressivement leurs doigts en commençant par le pouce pour compter jusqu'à 5 : la poing est alors fermé. Puis ils déplient à nouveau leurs doigts en partant du petit doigt pour aller jusqu'à neuf. Certaines cultures ne s'arrêtent pas au dénombrement et utilisent leurs doigts pour effectuer des opérations simples. D'autres utilisent également la méthode des phalanges et adoptent ainsi un système duodécimal, en posant le pouce sur les 12 autres phalanges des 4 autres doigts de la même main. En combinant quantité et symbolique des doigts, les Romains de l'Antiquité pouvaient même compter jusqu'à 9 999 sur leurs mains : « dix » était représenté par l'ongle de l'index sur l'articulation médiane du pouce, « vingt » par l'extrémité du pouce serrée entre l'index et le majeur...
Compter sur ses doigts est plus qu'un jeu : c'est tout un art, que l'on appelle la dactylonomie. Et contrairement aux idées reçues, c'est loin d'être inné, ou même universel. Des chercheurs allemands de l'université de Fribourg ont même montré que le système de comptage avec les doigts que l'on utilise influe sur la façon dont nous nous représentons mentalement les nombres et les processus. Selon eux, « l'étude de ces différentes techniques permettrait de comprendre comment la culture influe sur les processus cognitifs, et sur l'arithmétique mentale en particulier ». En somme, « montre-moi comment tu comptes, je te dirai d'où tu viens… et comment tu penses ».